Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями.

Определение. Будем называть расстоянием от точки до плоскости минимальное расстояние от данной точки до точек m-плоскости.

Т.к. минимальное расстояние от данной точки до точек всякой прямой, лежащей на m-плоскости, является расстоянием от данной точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на прямую. Расстояние от точки до m-плоскости равно расстоянию от этой точки до основания перпендикуляра, опущенного из нее на m-плоскость.

Найдем расстояние от точки до плоскости, заданной уравнением (4). Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость имеет вид: (12). Подставим (12) в (4): . (13). Т.к. расстояние от точки до произвольной точки плоскости равно (14). В частности расстояние до плоскости от начала системы равно (15). Когда вектор нормали единичный, формулу (14) можно записать, как (14’), а (15): (15’). В случае, когда вектор нормали единичный, абсолютная величина свободного члена в (4) равна расстоянию до плоскости.

Утверждение. Поскольку у параллельных плоскостей могут быть выбраны одни и те же направляющие векторы , то векторы нормали параллельных плоскостей коллинеарны. Расстояния от всех точек одной из двух параллельных плоскостей до другой из этих плоскостей равны. Действительно, расстояние от произвольной точки к плоскости, проведенной через точку параллельно данной плоскости (4) с направляющими векторами , в силу (14) равно . Т.е. равно расстоянию от точки до той же плоскости.

Определение. Будем называть число, равно этим расстояниям, расстоянием между двумя параллельными плоскостями.

Если уравнения двух плоскостей записаны в виде: (17), то расстояние между ними равно расстоянию от точки , лежащей на второй плоскости до первой. В силу соотношения (14), это расстояние равно , но т.к. точка лежит на второй плоскости, то вектор удовлетворяет уравнению этой плоскости, т.е. . Получаем: (18).

23. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классификацией возможных типов типов в случае δ≠0

Зафиксируем на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени. (1)

Def: Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению 1 называют кривой второго порядка. Группу старших членов (2) можно рассматривать как квадратичную форму от координат (х,у) вектора х. Поскольку матрица А-симметрична, то  ортонормированный базис из собственных векторов а, в котором матрица квадратичной формы диагональна и вещественна. Пусть матрица P=[p_ij] – матрица перехода от базиса е к базису . Тогда . Тогда (5) . С учетом 5 запишем квадратичную форму 2. (6) Причем (легко выводится умножением P^TAP). Следовательно в базисе квадратичная форма может быть записана в виде . Поскольку P^TP=I, матрица Р – ортогональная и геометрически переходу от базиса к базису соответствует поворот на некоторый у гол φ против часовой стрелки. . В силу справедливости 5,6 перепишем уравнение 1 в новых координатах. (10)

Положим (11) . Тогда λ₁λ₂ =detD=det(P^TAP)=detP^T detA detP=detA.

Значит

Разделим случаи:

1)

(13) . Причем: , , .

А) Предположим, что, то есть все λ одного знака, тогда геометрическое место точек координаты которых удовлетворяют условию 13 представляет собой:

a. Эллипс, если знак с противоположен знаку λ

b. «Мнимый эллипс», если знак с=знаку λ

c. точку, если с=0

В) Пусть , т.е. λ₁ и λ₂ разных знаков. Тогда 13 будет

a. уравнением гиперболы: , если c≠0

b. И пары пересекающихся прямых, если c=0

1. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду с классификацией возможных типов в случае δ=0

3) Пусть . Будем для определенности считать, что λ­₁=0, а λ₂≠0. Тогда уравнение 10 преобразуется к виду: . Полученное уравнение – уравнение параболы. Если же b₁=0, то уравнение приводится к следующему виду: . Это уравнение:

a. пары параллельных прямых, если сλ₂<0

b. совпадающих прямых, если с=0

c. «мнимых параллельных прямых», если cλ₂>0

1. Инварианты кривой второго порядка. Определение канонического уравнения кривой второго порядка по инвариантам.

Def: Инвариантой кривой называются функции коэффициентов уравнения кривой, которые не меняются при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой.

Теорема. Для кривой второго порядка , , являются инвариантами. В доказательстве рассматривается 2 случая: 1) параллельный перенос (производится замена переменных, открываются скобки, группируется) 2) Поворот с использованием Р.(с помощью Р приводится к диагональной D=P^TAP, а затем вычисляются инварианты от D)

Кривая эллиптического типа		- Эллипс
- Эллипс
	Точка
Кривая гиперболического типа		Гипербола
	Пара пересекающихся прямых
		Парабола
	Пара параллельных прямых

 

1. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда все λ_i отличны от нуля.

В случае, когда все λ_i отличны от нуля. Поверхность, путем преобразования квадратичной формы с помощью матрицы перехода Р (как в кривых только для матрицы 3х3) и затем преобразования координат и приведения их к каноническому виду, преобразуется в следующий вид: . Тогда имеем следующее.

С<0	 λi>0		Эллипсоид
λ1>0 λ2>0 λ3<0		Однополостной гиперболоид
λ1<0 λ2<0 λ3>0		Двуполостной гиперболоид
 λi<0		Мнимый эллипсоид
С>0	 λi одного знака		Мнимый конус
λ1>0 λ2>0 λ3<0		Конус

 

27. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда одно из λ_{i ­}равно нулю.

Пусть, для определенности, λ₃=0. Тогда уравнение поверхности примет вид: (4). Если в 4 , то уравнение становится уравнением цилиндрической поверхности. (5). Снова будем считать, что с≤0, иначе умножим 5 на -1.

с<0	λ1>0 λ2>0		Эллиптический цилиндр
λ1>0 λ2<0		Гиперболический цилиндр
λ1<0 λ2<0		Мнимый эллиптический цилиндр
с>0	λi одного знака		Две мнимые пересекающиеся плоскости	Прямая х=0, y=0
λi разных знаков
c<0	Если λi одного знака		Эллиптический параболоид
	Если разных знаков		Гиперболический параболоид

28. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду с классификацией типов в случае, когда два из λ_i равны нулю.

Пусть , тогда уравнение поверхности примет вид: (7). Это пара параллельных плоскостей, различных, когда λ₁C<0, совпадающих, когда C=0, мнимых, если λ₁C>0.

Если a₂ ≠ 0 или a₃≠0, делаем замену, полагая: , . Подставляя в 7 получаем: , где . Это кривая второго порядка на плоскости или параболический цилиндр.

1. Доказать теорему о возможности расщепления пространства X, в котором действует линейный оператор, в прямую сумму корневых подпространств: X = ^(p1) ₊ ^(p2) _{+ … +} ^(pk)

Теорема 1: Пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств N₀^(p) и M^(p). При этом подпространство N₀^(p) состоит только их собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению λ=0, а в подпространстве M^(p) преобразование обратимо (т.е. λ=0 не является собственным значением преобразования A в подпространстве M^(p).

Доказательство: для доказательства первого утверждения нам достаточно показать, что пересечение подпространств N₀^(p) и M₀^(p) равно нулю. Допустим противное, т.е пусть существует вектор y≠0 такой, что yÎM^(p) и yÎN₀^(p). Так как yÎM^(p), то y=A^px.

Далее, так как yÎN₀^(p), то A^py=0

Но из равенств (8) и (9) следует, что существует такой вектор x, для которого A^px≠0 и в то же время A^2px = A^py = 0

Это значит, что x есть присоединенный вектор преобразования A с собственным значением λ=0, не принадлежащий подпространству N₀^(p) , что невозможно, так как N₀^(p) состоит из всех таких векторов.

Таким образом мы доказали, что пересечение N₀^(p) и M₀^(p) равно нулю. Так как сумма размерностей этих подпространств равна n (это ядро и образ преобразования A^p), то отсюда следует, что пространство R раскладывается в прямую сумму этих подпространств:

R = M^(p) N₀^(p)

Докажем теперь второе утверждение теоремы, т.е. что в подпространстве M^(p) преобразование A не имеет нулевого собственного значения. Действительно, если бы это было не так, то в M^(p) существовал бы вектор x≠0 такой, что A^px=0

Но это равенство означает, что xÎN₀^(p), т.е. является общим вектором M^(p) и N₀^(p), а мы доказали, что таким вектором может быть только нуль.

Теорема 2: Пусть преобразование A пространства R имеет k различных собственных значений λ₁,….,λ_k. Тогда R можно разложить в прямую сумму k инвариантных подпространств N_λ1^(p1),….,N_λk^(pk):

R = N_λ1^(p1) …. N_λk^(pk)

Каждое из подпространств N_λi^(pi) состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению λ_i

Другими словами, для каждого i существует такое число p_i, что для всех xÎN_λi^(pi):

(A-λ_iI) ^pi x = 0