Сходимость метода итераций явного типа решения некорректных задач в энергетической норме.

В действительном гильбертовом пространстве решается уравнение 1 рода

(1)

где - ограниченный, положительный, самосопряженный оператор, для которого нуль не является собственным значением. Причем нуль принадлежит спектру оператора , т.е. задача некорректна. Предполагается существование единственного решения при точной правой части . Для его отыскания предлагается итеративный метод

(2)

Однако на практике часто правая часть уравнения (1) бывает неизвестной, а вместо известно приближение , тогда метод (2) примет вид:

(3)

Рассмотрим сходимость процессов (2) и (3) в энергетической норме , где . При этом, как обычно, число итераций нужно выбирать в зависимости от уровня погрешности .

Полагаем и рассмотрим разность

. (4)

Рассмотрим первое слагаемое .

Покажем по индукции, что

При из формулы (2) получаем:

, т.к.

Следовательно, формула (*) справедлива при .

Предполагаем, что формула (*) верна при , т.е.

Покажем, что формула (*) справедлива для

Покажем, что бесконечно мало в норме пространства при .

Так как уравнение (1) имеет по определению единственное точное решение, то и, следовательно,

Воспользовавшись интегральным представлением самосопряженного оператора, имеем:

,

где – соответствующая спектральная функция, – единичный оператор. Для оценки нормы найдем максимум подынтегральной функции при .

Известно, что .

Таким образом, при , удовлетворяющих условию

, (5)

для любых справедливо неравенство

,

и, следовательно,

.

.

Оценка для , при .

Оценим второе слагаемое в (4). Как было показано ранее, справедливо равенство

.

Воспользовавшись интегральным представлением самосопряженного оператора, получим

.

Обозначим через подынтегральную функцию и оценим ее сверху при условии (5).

.

,

.

Тогда получаем, (6)

Запишем общую оценку при условии (5):

(7)

Теорема 1. Итерационный процесс (3) при условии сходится в энергетической норме гильбертова пространства , если выбирать число итераций из условия . Для процесса (3) справедлива оценка погрешности (7).

Оптимизируем полученную оценку (7) по , т.е. при заданном найдем такое значение числа итераций , при котором оценка погрешности становится минимальной. Приравняв нулю производную по от правой части неравенства (7) и проведя ряд преобразований, получим . Подставив в оценку (7), получим ее оптимальное значение .

Получим, что оптимальная оценка погрешности не зависит от параметра , но от него зависит . Поэтому для уменьшения и, значит, объема вычислительной работы, следует брать по возможности большим, удовлетворяющим условию (5) и так, чтобы было целым.

Рассмотрим вопрос о том, когда из сходимости в энергетической норме следует сходимость в обычной норме гильбертова пространства . Эти условия дает

Теорема 3. Если выполнены условия:

1) ,

2) , где , - фиксированное положительное число ,

то из сходимости к в энергетической норме следует сходимость в обычной норме гильбертова пространства.

Доказательство.

Так как и , то и

, т.е.

.

Следовательно, .

Отсюда

, ч.т.д.

Замечание 1. Так как , то для того, чтобы удовлетворяло условию , достаточно потребовать, чтобы . Т.о. если и , то из сходимости итераций в энергетической норме следует их сходимость в обычной норме пространства .

Замечание 2. Использование энергетической нормы позволило получить оценки погрешности метода и априорный момент останова без требования знания истокопредставимости точного решения, что делает метод (3) эффективным и тогда, когда нет сведений об истокообразной представимости точного решения.