Линейная модель многоотраслевой экономики

Для простоты будем полагать, что производственная сфера хозяйства представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период; в ряде случаев такой единицей служит год.

Введем следующие обозначения:

x_i- общий объем продукции i-й отрасли;

x_ij- объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве объема продукции x_j;

y_i- объем продукции i-й отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления.

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовой выпуск i-й отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности, или простого сложения) балансовые соотношения имеет вид x_i= x_i1+x_i2+x_in, i=1, 2,..., n

Эти уравнения называются соотношениями баланса. Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, в дальнейшем будем иметь в виду стоимостный баланс.

В. Леонтьевым на основании анализа экономики США в период перед второй мировой войной был установлен важный факт: в течение длительного времени величины a_ij=x_ij/x_j меняются очень незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа. Это явление становится понятным в свете того, что технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления j-й отраслью продукции i-й отрасли при производстве своей продукции объема x_j есть технологическая константа.

В силу указанного факта можно сделать следующее допущение: для производства продукции j-й отрасли объема x_j нужно использовать продукцию i-й отрасли объема a_ijx_i, где a_ij - постоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называется гипотезой линейности. При этом числа a_ij называются коэффициентами прямых затрат. Согласно гипотезе линейности x_ij=a_ijx_j, i,j=1, 2,..., n

Соотношения баланса можно переписать в виде системы уравнений

Введем в рассмотрение векторы-столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска), объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления) и матрицу коэффициентов прямых затрат:

Тогда система уравнений в матричной форме имеет вид

Обычно это соотношение называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с описанием матричного представления это уравнение носит название модели Леонтьева.

Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом (наиболее простом) случае, когда известен вектор валового выпуска , требуется рассчитать вектор конечного потребления . Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода Т (например, год) известен вектор конечного потребления , требуется определить вектор валового выпуска.

 

Линейная модель торговли

Процесс взаимных закупок товаров анализируется с использованием понятий собственного числа и собственного вектора матрицы. Будем полагать, что бюджеты n стран, которые мы обозначим, соответственно, х₁, х₂, …, х_n, расходуются на покупку товаров. Рассмотрим линейную модель обмена, или модель международной торговли.

Пусть а_ij - доля бюджета х_j, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффициентов а_ij:

Тогда, если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (это можно трактовать как торговый бюджет), справедливо равенство

Матрица А с данным свойством, в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i-й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой

P_i = a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n

Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. x_i ≤ P_i, или x_i ≤ a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n, i=1, 2, …, n.

Докажем, что в условиях не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при i от 1 до n. Группируя слагаемые с величинами бюджетов x_j, получаем:

x₁+x₂+x_n≤x₁(a₁₁+a₂₁+...+a_n1)+x₂(a₁₂+a₂₂+...+a_n2)+x_n(a_1n+a_2n+...+a_nm)

Нетрудно заметить, что в скобках стоят суммы элементов матрицы А по ее столбцам, которые равны единице по условию. Стало быть, мы получили неравенство x₁+x₂+...+x_n≤x₁+x₂+...+x_n, откуда следует, что возможен только знак равенства.

Таким образом, условия принимают вид равенств:

Введем вектор бюджетов , каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны. Тогда систему уравнений можно записать в матричной форме:

Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению равен 1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли. Перепишем уравнение в виде, позволяющем определить :

 

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

Понятие функции

Понятие функции в математике — одно из основных. Выражает зависимость одних переменных величин от других.

Определение. Функция — это соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

Пусть каждому числу x из множества значений D поставлено в соответствие число y из множества значений E.
«Поставлено в соответствие» — значит, указан определённый способ (правило), по которому для каждого x∈D находят y∈E. (∈ — знак принадлежности. Запись x∈D читают «икс принадлежит дэ»).

Чаще всего этот способ обозначают как y=f(x). Для обозначения функции применяют и другие буквы: y=g(x), s=f(t) и т.д.

Если функция задана соответствием y=f(x), переменная x называется независимой переменной или аргументом, y — зависимой переменной или функцией.

Множество значений D, которые может принимать x, называется областью определения функции.

Множество значений E, которые может принимать y, называется областью значений функции.

Функцию можно задать несколькими способами:
- аналитическим (с помощью формулы),
- графическим,
- табличным,
- описанием с помощью словесной формулировки).

Функции, в которых значения аргумента и значения функции — числа, называются числовыми функциями.

Примеры функций.

1) При движении автомобиля с постоянной скоростью пройденный путь является функцией от времени.
Например, если автомобиль движется с постоянной скоростью 60 км/ч, зависимость пути от времени можно задать формулой s=60t, где s — пройденный путь (в километрах), t — время (в часах).

2) Периметр квадрата является функцией от его стороны.
Зависимость периметра от стороны квадрата можно задать формулой P=4a, где P — периметр, a — длина стороны.

Сложная функция — это функция от функции. Если u — функция от x, то есть u=u(x), а f — функция от u: f=f(u), то функция y=f(u) — сложная.

А u в этом случае называют промежуточным аргументом. Еще часто f называют внешней функцией, а u — внутренней. Лучший способ понять, что такое сложная функция — рассмотреть примеры сложных функций.

1) y=sin x — эта функция «простая». Синус зависит от x. Как только вместо x под знаком синуса появится выражение, зависящее от x, даже самое простое — такая функция называется сложной. То есть y=sin u — сложная функция, есл и u — некоторая функция от x. Примеры сложных функций с синусом:

y=sin (x+1). Эта функция — сложная. Внутренняя функция u здесь равна x+1, а внешняя функция f — это синус. То есть u=x+1, f=sin u.

y=sin (5x-2x³+3). Внутренняя функция u=5x-2x³+3, внешняя функция f=sin u.

y=sin (x/7). Внутренняя функция u=x/7, внешняя функция f=sin u.

2) y=cos x — «простая» функция. y=cos u — сложная функция, если u — некоторая функция, зависящая от x. Примеры сложных функций с внешней функцией — косинусом:

y=cos (4-11x). Внутренняя функция u=4-11x, внешняя функция — косинус: y=cos u.

y=cos (7x³ -4x²). Внутренняя функция u=7x³ -4x², внешняя — y=cos u.

Определение. Пусть дана функция y = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости y = f(x) можно переменную x однозначно выразить через переменную y. Выразив x через y, мы получим равенство вида
x = g(y). В этой записи g обозначает функцию, обратную к f.

Дана функция y = f(x). Поставим следующий вопрос: при каком условии существует функция, обратная к функции f?

Самым простым ответом на поставленный вопрос будет такой: по определению функция f имеет обратную, если из соотношения y = f(x) переменную x можно однозначно выразить через y.

Условие существования обратной функции можно выразить геометрически.

Функция y = f(x) имеет обратную, если всякая прямая y = y₀ пересекает график функции y = f(x) не более чем в одной точке (она может совсем не пересекать график, если y₀ не принадлежит области значений функции f).
Это же условие можно сформулировать иначе: уравнение f(x) = y₀ при каждом y₀ имеет не более одного решения.
Условие того, что функция имеет обратную, заведомо выполняется, если функция строго возрастает или строго убывает. Действительно, если f, например, строго возрастает, то при двух различных значениях аргумента она принимает различные значения, так как большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, уравнение f(x) = y₀ для строго монотонной функции имеет не более одного решения.

Если функция g является обратной для функции f, то и функция f является обратной для функции g, потому что равенства y = f(x) и x = g(y) по определению обратной функции равносильны, т. е. может существовать только одна пара чисел x и y, между которыми выполняется как зависимость y = f(x), так и зависимость x = g(y).

В силу симметрии понятия обратной функции пару функций f и g называют взаимно обратными функциями.