Коэффициент линейной корреляции Пирсона

Точную формулу ля подсчета коэффициента корреляции разработал ученик Френсиса Гальтона – Карл Пирсон. Коэффициент корреляции Пирсона характеризует наличие только линейной связи между признаками, обозначаемыми, как правило, символами X и Y. Формула расчета коэффициента корреляции построена таким образом, что, если связь между признаками имеет линейный характер, коэффициент Пирсона точно устанавливает тесноту этой связи. В случае с криволинейной корреляцией могут получиться отличные результаты, поэтому всегда необходима графическая интерпретация.

Условия для применения коэффициента корреляции Пирсона

1) Сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале или шкале отношений.

2) Распределения переменных X и Y должны быть близки к нормальному.

3) Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.

4) Таблицы уровней значимости для коэффициента корреляции Пирсона рассчитаны от n = 5 до n = 1000. Оценка уровня значимости по таблицам осуществляется при числе степеней свободы v= n – 2.

Формула для подсчета коэффициента корреляции такова:

, (9.5)

где х_i – значения, принимаемые переменной X;

y_i – значения, принимаемые переменной Y.

Задача 9.2

20 школьникам были даны тесты на определение преобладания наглядного или вербального мышления. Измерялось среднее время решения заданий теста в секундах. Психолога интересует вопрос: существует ли взаимосвязь между временем решения наглядно-образных задач и вербальных заданий? Переменная X обозначает среднее время решения наглядно-образных задач, а переменная Y – среднее время решения вербальных заданий тестов.

Решение

Представим исходные данные в виде таблицы 9.3, в которой введены дополнительные столбцы, необходимые для расчета коэффициента корреляции Пирсона.

 

Таблица 9.3

 

№ испытуемых	Среднее время решения наглядно-образных заданий	Среднее время решения вербальных заданий	X ×Y	X ×X	Y ×Y
X	Y
Сумма

Гипотезы к задаче

Н₀: Корреляция между временем решения наглядно-образных задач и вербальных заданий не отличается от нуля.

Н₁: Корреляция между временем решения наглядно-образных задач и вербальных заданий статистически значимо отличается от нуля.

Рассчитываем эмпирическую величину коэффициента корреляции Пирсона по формуле (9.3):

.

При нахождении критических значений для вычисленного коэффициента линейной корреляции Пирсона число степеней свободы рассчитывается как v = n - 2. В нашем случае n = 20, поэтому n – 2 = 20 – 2 = 18. По таблице 3 Приложения1 находим:

.

«Ось значимости»

 

Ответ

r_{xy эмп} = 0,669. Ввиду того, что величина расчетного коэффициента корреляции попала в «зону значимости», гипотеза H₀ отвергается и принимается гипотеза H₁ (при a£0,01). Корреляция между временем решения наглядно-образных заданий и вербальных задач статистически значимо отличается от нуля. Полученная положительная зависимость говорит о том, что чем выше среднее время решения наглядно-образных задач, тем выше среднее время решения вербальных заданий, и наоборот.