Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Привести и проанализировать конечные результаты решения сферического и радиального уравнения Шредингера.
Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода разделяется на два уравнения: 1) сферическое:
2) радиальное:
Уравнение (1) хорошо известно в математике (см. любой курс методов математической физики, раздел «Уравнение Лапласа в сферических координатах»). Искомые решения уравнения (1) называются сферическими функциями. Они зависят от целых чисел l и m, что отражено в их символическом обозначении. Эти функции имеют явный вид:
где - присоединенный полином Лежандра от аргумента cos θ вычисляется по формуле:
Нормировочный множитель в формуле (3) определяется из условия нормировки:
Из уравнения (2) устанавливается явный вид радиальных функций:
где , r 1- радиус первой Боровской орбиты, i = 0,1,2,... Коэффициенты вычисляются из рекуррентной формулы, полученной из решения радиального уравнения (2):
где , . Кроме того, из (2) следует:
Решение уравнения (1) приводит к количественным результатам:
Выше приведены следующие обозначения для физических величин, описывающих состояние электрона в атоме водорода: - полная энергия, - орбитальный механический момент импульса и его проекция на ось z соответственно, n - главное квантовое число, - механическое орбитальное квантовое число, m – магнитное орбитальное квантовое число. 2). №15.Для δ – функции Дирака закончить равенства: 1) 2) 3) 4) 5) 1) 2) 3) 4) 5)
3).
Билет №16 1). Разделить переменные в сферическом уравнении Шредингера для атома водорода. Воспользуемся ранее полученным из стационарного уравнения Шредингера для атома водорода сферическим уравнением Лагранжа:
Введем обозначение:
С учетом (2) уравнение (1) принимает вид:
Уравнение (3) решаем методом разделения переменных. Для этого представим сферическую функцию в виде произведения
Выражение (4) подставим в (3), вынося за знак производных функции, на которые производные не действуют:
Разделим левую и правую части (5) на выражение и преобразуем его:
Как видно из (6), левая и правая части этого уравнения зависят от разных переменных Такое равенство выполняется лишь при условии, что каждая часть независимо друг от друга равна общей постоянной величине. Обозначим ее . Тогда (6) разбивается на два независимых уравнения:
2). Доказать правомерность представления δ-функции Дирака в виде Как известно, δ -функцией Дирака называют функцию δ (β), удовлетворяющую следующим условиям:
Из (1) следует, что функция δ (β) носит резко выраженный сингулярный характер. Качественно ее можно представить себе равной нулю всюду, кроме точки β = 0, а в этой точке настолько большой, что площадь, ограниченная графиком этой функции и осью β, конечна и равна единице. Весьма полезным оказывается одно частное представление δ (β) в виде предельного значения функции где g – положительное вещественное число. Эта функция, равная при β = 0 при увеличении осциллирует с постоянно убывающей амплитудой и с периодом а интеграл от нее по β, взятый в пределах равен единице независимо от значения g. Поэтому предел при имеет все свойства δ - функции; при β = 0 он становится бесконечно большим, интеграл от предельного выражения равен единице, а бесконечно быстрые осцилляции при увеличении означают, что весь вклад в интеграл, содержащий эту функцию, обусловлен бесконечно малой окрестностью точки β = 0. В связи с этим можно положить
3).
Билет №17 1) Установить зависимость сферической функции атома водорода от азимутального угла . Вычислить величину проекции орбитального механического момента импульса и возможные значения магнитного орбитального квантового числа m электрона в атоме водорода. Решим уравнение, полученное после разделения переменных в сферическом уравнении Шредингера для атома водорода:
Уравнение (1) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Как известно из математического анализа решение такого уравнения отыскивается в виде с помощью характеристического уравнения В конечном итоге искомая функция с точностью до постоянного коэффициента оказывается равной:
Учитывая периодичность функции (2)
можно установить возможные значения числа m:
Легко проверить, что (2) является собственной функцией оператора проекции механического орбитального момента импульса . Действительно, , откуда следует, что является собственным значением оператора проекции механического орбитального момента импульса на ось z , т.е.
Число m носит название квантового магнитного орбитального числа 2) Охарактеризовать элементы, входящие в формулу для волнового пакета свободной частицы Как известно, понятие дисперсии сводится к понятию среднеквадратичного отклонения рассматриваемой величины от его среднего значения. В частности, дисперсия координаты задается выражением
а дисперсия импульса -
Рассмотрим эти понятия () в рамках задачи о свободном движении частицы. В квантовой механике роль начального условия играет задание волновой функции системы в момент t = 0. Подберем эту волновую функцию таким образом, чтобы при t = 0 средние значения координаты и импульса свободной частицы равнялись заданным значениям
а неопределенности координаты и импульса были бы минимальными, т.е.
Можно показать, что этим требованиям отвечает функция
Она нормирована в соответствии с общим правилом нормировки
И нормировочный коэффициент равен величине . Пользуясь определением среднего в квантовой механике можно доказать (3) и вычислить средние величины, входящие в (1) и (2) и из (1), (2) вычислить дисперсии координаты и импульса:
Из (7) следует
Отсюда видно, что выбранная волновая функция (5) обладает уникальным свойством – она минимизирует соотношение неопределенностей Гейзенберга, приводя к равенству (4), т.к. (8) тождественно (4). Из (7) видно, что квадрат величины b, входящей в нормировочный коэффициент волновой функции (5) имеет смысл удвоенной дисперсии координаты свободной частицы в начальный момент времени. Можно показать, что состояние с волновой функцией (5) не является стационарным и энергия не имеет определенного значения. Такое нестационарное состояние частицы, довольно четко локализованное в пространстве, является примером пространственного волнового пакета. 3)
Билет №18 1) Установить зависимость сферической функции атома водорода от полярного угла . Воспользуемся ранее полученным из стационарного уравнения Шредингера для атома водорода сферическим уравнением Лагранжа:
Введем обозначение:
После разделения переменных уравнение (1) разбивается на два:
В (3) и (4) m –постоянная величина, которая устанавливается в процессе решения уравнения (3) и называется квантовым магнитным орбитальным числом электрона в атоме водорода. Решим уравнение (4). Распишем подробно:
Подставим (5) в (4):
Разделим левую правую части (6) на выражение . В результате получим:
При знаменатели в (7) обращаются в и (7) теряет смысл. Следовательно, функция должна содержать в качестве сомножителя синус:
Дифференцируя (8) и подставляя результат в (7), получаем уравнение:
Для устранения в знаменателе (9) (причину этого смотри выше) полагаем , откуда следует:
Т.к. число m может принимать отрицательные значения, то его величина берется по модулю в силу условия .
Тогда (9) принимает вид:
Далее решение (11) отыскивается в виде ряда
Дифференцируем (12), результат подставляем в (11) и объединяем слагаемые с одинаковыми степенями косинусов:
Равенство (13) выполняется, если коэффициенты при всех степенях равны нулю. Приравнивая к нулю эти коэффициенты, получаем:
Остальные коэффициенты находятся аналогично (15):
Выражение (16) представляет собой рекуррентную формулу, позволяющую вычислить последующий коэффициент через предыдущий . Из (16) следует, что ряд (12) может содержать либо четные степени косинусов , либо нечетные . В общем виде (12) принимает вид:
Тогда 2) Доказать свойство δ – функции Дирака: Чисто формально δ-функцией называется функция δ(х), удовлетворяющая следующим требованиям:
Конечно, такая функция выходит за рамки величин, рассматриваемых в классическом анализе. Наглядно δ-функцию можно представлять себе следующим образом. Рассмотрим обычную функцию, которая всюду равна нулю, кроме малого интервала Δх, включающего точку x = 0. Если теперь стремить размеры этого интервала к нулю, одновременно увеличивая значение функции внутри него так, чтобы площадь под ее графиком все время оставалась равной единице, то «в пределе» мы и получим δ -функцию. Одно из наиболее важных свойств δ-функции, которое математики и положили в основу ее строгого определения, состоит в том, что для любой непрерывной функции f (x) имеем
Докажем (3). Действительно, для значений х за пределами сколь угодно малого интервала, содержащего точку х = 0, δ-функция равна нулю, благодаря чему в левой части (3) можно заменить на f (0). Вынося это постоянное число за знак интеграла и пользуясь последним условием (2), мы получим (3).
3).
Билет №19 1) Рассчитать максимальный номер слагаемого полинома входящего в состав функции атома водорода и записать окончательный вид этой функции. Установить величину орбитального механического момента импульса М и возможные значения механического орбитального квантового числа l электрона в атоме водорода. Ряд (17) не может содержать бесконечное число слагаемых, т.к. в противном случае функция с учетом (8) становится бесконечной, что не отвечает стандартному требованию ограниченности волновой функции. Следовательно, k – конечное целое число, имеющее смысл номера последнего слагаемого ряда (17), который приобретает в этом случае вид полинома. Таким образом, - последний ненулевой коэффициент полинома (17). Тогда, учитывая, что , из (16) получаем:
Или:
Обозначив
Получаем
Из (20) следует
Т.к. , то , т.е. Из (2) следует , или , или
И окончательно для волновой функции имеем:
2) Определить явление, описываемое формулой
Прохождением частиц через потенциальные барьеры объясняется целый ряд физических явлений: внешняя контактная разность потенциалов при соприкосновении разнородных проводников, холодная эмиссия электронов (испускание электронов с поверхности проводнка при напряженности электрического поля вблизи этой поверхности свыще ~ 100 кэВ/см), некоторые ососбенности ядерных реакций (например попадание протона внутрь ядра извне при его кинетической энергии, меньшей чем энергия электрического отталкивания ядра атома), спонтанный α – распад радиоактивных ядер и др. 3)
Билет №20 1) Присоединенный полином Лежандра. Общий вид нормировочного коэффициента сферической функции атома водорода, заданной через полином Лежандра. Волновая функция, являющаяся решением сферическое уравнение Шредингера для атома водорода, имеет вид:
Как видно из (1), эта функция содержит полином. Коэффициенты полинома устанавливаются через предыдущие коэффициенты с помощью рекуррентной формулы
Таким образом, явный вид всех коэффициентов можно установить через первый. Первый же коэффициент будет в конечном итоге играть роль нормировочного коэффициента и определяться из условия нормировки. Однако, можно упростить получение полинома в (1) и вместо поиска нормировочных коэффициентов для установить формулу для общего нормировочного коэффициента. Для этого коэффициент представляют в виде:
В этом случае вместо полинома получается полином вида:
где . Сферическая функция (1) при этом принимает вид:
В (5) общий нормировочный коэффициент устанавливается из условия нормировки
и имеет вид:
2)Пояснить рисунок
Зависимость потенциальной энергии U (r) α - частицы от ее расстояния r до центра ядра показана на рисунке 2. При r < R (R – радиус действия на α - частицу ядерных сил, величина которого близка к радиусу ядра) ход потенциальной энергии приближенно представлен в виде потенциальной ямы с вертикальными стенками. При r > R, когда на α - частицу действуют только силы электрического отталкивания, ход потенциальной энергии определяется формулой для энергии взаимодействия двух точечных электрических зарядов:
Здесь Z – порядковый номер материнского ядра, а - заряд дочернего ядра, электрическое поле которого отталкивает α – частицу, обладающую энергией 2 e.
3)
Билет №21
1) Решение радиального уравнения Шредингера. Полная энергия атома водорода. Главное квантовое число. Деление переменных в стационарном уравнении Шредингера для атома водорода
заданном в сферической системе координат, приводит к разделению (1) на три уравнения, каждое из которых зависит от своей переменной. Уравнение, зависящее от радиуса r, называется радиальным уравнением и имеет вид:
где
Учтем, что (см.7б-2), а (см.7в-21), подставим (3) в (2) и перенесем все в левую часть и сгруппируем слагаемые. В результате (2) примет вид:
Беря производные в (4) и проводя преобразования, получаем:
Введем обозначения:
После подстановки (6) и в (5), последнее приобретает вид:
Решение уравнения (7) отыскивается в виде произведения двух функций
где -асимптотическая функция, отыскиваемая при условии , т.е. в области, где . Подставляя (8) в (7) получаем:
Тогда
Функция отыскивается в виде ряда по степеням r, аналогично методу определения сферических функций (см.7в1-8). В результате из (7) устанавливается полная функция :
где , – радиус первой боровской орбиты, - главное квантовое число. Коэффициенты определяются через рекуррентную формулу:
где , . Последнее выражение и явный вид и (см. (6)) позволяют установить формулу полной энергии атома водорода:
Пояснить формулу число соударений α – частицы со стенками потенциальной ямы в единицу времени равно Для получения коэффициента D прохождения через потенциальный барьер воспользуемся теорией потенциальных барьеров произвольной формы: где При наших не претендующих на большую точность расчетах можно принять, что Тогда вычисления приводят к следующему выражению для G:
Логарифмируя формулу (1), получим с учетом выражений (4), (5) и (7): Эта формула устанавливает искомую связь между свойствами ядра (величиной R, зависящей от радиуса ядра, и его порядковым номером Z), энергией α – частицы Е и постоянной распада λ. В частности она подтверждает закон Гейгера – Нэттола
3)
Билет №22
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 300; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.190.176.243 (0.124 с.) |