Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения

Пусть задан ряд с положительными членами . Исследуем вопрос о его сходимости или расходимости.

Так как частичные суммы ряда с положительными членами образуют неубывающую последовательность (S ₁< S ₂< S ₃<…), то этот ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена.

 

Теорема 10.4.1 (признак сравнения 1). Пусть для рядов и имеет место неравенство

(для всех n или начиная с некоторого N). Тогда:

1) если сходится ряд , то сходится и ряд ;

2) если расходится ряд , то расходится и ряд .

Признак утверждает, что при выполнении условия из сходимости ряда с большими членами вытекает сходимость с меньшими членами, а из расходимости ряда с меньшими членами вытекает расходимость ряда с большими членами.

Доказательство.

1) Пусть ряд сходится и S – его сумма. Из соотношения следует неравенство

,

где – частичная сумма ряда , а – частичная сумма ряда . Из этого неравенства вытекает ограниченность сверху частичных сумм ( £ S) ряда . В таком случае неубывающая последовательность имеет предел, т.е. ряд сходится и его сумма s £ S.

2) Пусть ряд расходится. Если бы при этом ряд сходился, то по только что доказанному должен сходиться и ряд , что противоречит условию. Значит, ряд расходится.

При выполнении условий будем говорить, что ряд является мажорантным рядом, или мажорантой (оценкой) для ряда .

 

Пример 10.4.1. Ряд сходится, так как его члены не больше соответствующих членов ряда . Последний ряд сходится, так как его члены, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Сумма этого ряда . Следовательно, в силу теоремы 10.4.1 данный ряд тоже сходится, причем его сумма s < 1,5.

 

Пример 10.4.2. Ряд расходится, так как его члены, начиная со второго, больше соответствующих членов гармонического ряда , который расходится.

Замечание 10.4.1.Признак сравнения 1 справедлив только для рядов с положительными членами. Он остается в силе, если некоторые члены 1-го или 2-го ряда – нули. Однако этот признак перестает быть верным, если среди членов ряда есть отрицательные числа.

Замечание 10.4.2.Теорема 10.4.1 справедлива и в том случае, если неравенство начинает выполняться лишь для , а не для всех n = 1, 2, 3, …

 

Теорема 10.4.2 (предельный признак сравнения 2). Пусть члены рядов и положительны и

, .

Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

 

Пример 10.4.3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как при n ®¥, то сравним этот ряд с обобщенным гармоническим рядом (р =2>1), который сходится. Поскольку

, то по признаку сравнения 2 исходный ряд сходится.

 

Пример 10.4.4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как , а ряд расходится, то расходится и данный ряд по признаку сравнения 2.

 

Признаки Даламбера и Коши

Рассмотрим еще три достаточных признака для исследования числовых рядов с положительными членами.

 

Теорема 10.5.1 (признак Даламбера). Если в ряде

отношение (n +1)-го члена к n -му при n ®¥ имеет конечный предел

,

то 1) ряд сходится, если р < 1;

2) ряд расходится, если р > 1.

(В случае р = 1 ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не дает, нужны дополнительные исследования.)

Доказательство.

1) Пусть р < 1. Рассмотрим число q, удовлетворяющее соотношению р < q < 1.

Из определения предела следует, что , что для всех будет иметь место Þ Þ . Запишем это неравенство для различных значений n, начиная с номера N.

Рассмотрим теперь три ряда

(исходный ряд)

 

Ряд есть сумма геометрической прогрессии с q < 1, следовательно, он сходится. Члены ряда меньше соответствующих членов ряда ввиду выполнения неравенств, поэтому он сходится.

Но ряд получается добавлением к сходящемуся ряду конечного числа членов (N -1), поэтому он тоже сходится.

2) Пусть р > 1. Тогда из равенства (где р > 1) следует, что, начиная с некоторого номера N, т.е. для . Þ для всех . Но это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера N +1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Следовательно, ряд расходится.

Замечание 10.5.1.Ряд будет расходиться и в том случае, когда р = ¥. Это следует из того, что если , то, начиная с некоторого номера n = N, будет иметь место неравенство , или Þ .

 

Пример 10.5.1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Здесь , . Следовательно,

. Ряд сходится.

 

Пример 10.5.2. Исследовать сходимость ряда .

Решение. . Ряд расходится.

Замечание 10.5.2.Если р = 1, но отношение для всех номеров n, начиная с некоторого, больше единицы, то ряд расходится. Это следует из того, что если >1, то и общий член не стремится к нулю, когда n ® ¥.

 

Пример 10.5.3. Исследовать сходимость ряда

Решение.

.

В данном случае ряд расходится, так как >1 для всех п:

.

 

Теорема 10.5.2(радикальный признак Коши). Если для ряда с положительными членами существует конечный предел , то

1) если р < 1, ряд сходится;

2) если р > 1, ряд расходится.

Как и в признаке Даламбера, случай р = 1 требует дополнительного исследования.

Доказательство практически ничем не отличается от доказательства теоремы 10.5.1, поэтому его приводить не будем.

 

Пример 10.5.4. Исследовать сходимость ряда

Решение. Применим радикальный признак Коши:

. Ряд сходится.

 

Теорема 10.5.3(интегральный признак Коши). Пусть члены ряда имеют вид , где f (x) – неотрицательная монотонно убывающая функция на промежутке , а ³ 1.. Тогда ряд сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходится (расходится) несобственный интеграл .

 

Пример 10.5.5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Положим . Функция f (x) непрерывна и монотонно убывает на . Так как несобственный интеграл

,

т.е. расходится, то в соответствии с интегральным признаком Коши расходится и заданный ряд.

 

Пример 10.5.6. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд . Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы 10.5.3. Рассмотрим несобственный интеграл

.

Рассмотрим три случая:

1) пусть р > 1 Þ р -1 > 0, тогда

, т.е

интеграл конечен и, следовательно, ряд сходится.

2) пусть р < 1 Þ 1- р > 0 и

, т.е.

интеграл расходится и, следовательно, ряд расходится.

3) если р = 1, рассматриваем

, ряд расходится.

Таким образом, ряд Дирихле сходится, если р > 1, и расходится, если р £ 1.

Заметим, что ни признак Даламбера, ни радикальный признак Коши не решают вопрос о сходимости этого ряда, так как соответствующие пределы равны 1.

Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле), а также ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, часто используются как «эталонные» ряды при применении обоих признаков сравнения.