И соответствующие им частные решения

	Вид правой части		Вид частного решения
			, .

Если правая часть уравнения – сумма функций вида

 

,

то частное решение ищется в виде суммы функций вида

 

Примеры решения задач

13.2.1. Решить уравнение .

◄ Это линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Соответствующее линейное однородное уравнение: . Его характеристическое уравнение имеет корни , а ф.с.р. состоит из функций

 

.

 

Правая часть неоднородного уравнения – многочлен 1-й степени, частный случай правой части вида с (п.1 таблицы). Так как , то и, согласно таблице, решение надо искать в виде многочлена 1-й степени: . Подставляя , и в исходное уравнение, получим

.

 

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, найдем . Таким образом, .

Общее решение имеет вид , .►

 

13.2.2. Решить уравнение .

◄ Соответствующее характеристическое уравнение имеет корни , , , которым в фундаментальной системе решений однородного уравнения отвечают решения

 

, , .

 

Правая часть уравнения постоянная, то есть многочлен нулевой степени; число – совпадает с двукратным корнем, то есть . Согласно п.1 таблицы решение ищем в виде . Вычисляем , , и поставляем в исходное уравнение. Получим , .

– общее решение. ►

13.2.3. Решить уравнение .

◄ Характеристическое уравнение имеет корни . Ф.с.р. однородного уравнения . Согласно п. 2 таблицы , , и частное решение неоднородного уравнения ищем в виде . Вычислим его производные и подставим в уравнение, оформив эти процедуры в виде следующей схемы

 

 

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, и решаем полученную систему уравнений.

.

Общее решение . ►

 

13.2.4. Решить уравнение .

◄ Характеристическое уравнение имеет корни , . Ф.с.р. однородного уравнения , . Согласно п. 3 таблицы: , .

 

Приравнивая коэффициенты при и в левой и правой частях этого равенства, получаем .

Общее решение .►

13.2.5. Решить уравнение .

◄ Характеристическое уравнение имеет корни . Ф.с.р. однородного уравнения , . Правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму двух функций и вида. Согласно п. 2 таблицы для первого слагаемого , , и частное решение неоднородного уравнения с правой частью имеет вид . Согласно п. 1 таблицы для второго слагаемого , , и частное решение неоднородного уравнения с правой частью имеет вид . Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде суммы двух слагаемых . Вычисляем производные и подставляем уравнение

–9

 

Полученное равенство будет верно, если

, .

Отсюда ,

 

	, ,
	, ,
	, .

 

Таким образом, , а общее решение имеет вид . ►

 

13.2.6. Найти вид частного решения уравнения

 

.

 

◄ Корни характеристического уравнения . Правая часть – сумма двух слагаемых стандартного вида: и . Соответствующие им числа ; . Частное решение ищем в виде суммы двух слагаемых .►

 

13.3. Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения.

13.3.1. .	13.3.2. .
13.3.3. .	13.3.4. .
13.3.5. .	13.3.6. .
13.3.7. .	13.3.8. .
13.3.9. .	13.3.10. .
13.3.11.. .	13.3.12. .
13.3.13. .	13.3.14. .
13.3.15. .	13.3.16. .

Найти вид частного решения.

13.3.17.	13.3.18.
13.3.19. .	13.3.20. .
13.3.21. .	13.3.22. .

14. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n -го порядка.