Задачі за курс алгебри 7 класу

1047. Купили 2 кг огірків по а грн. за кілограм і 5 кг помідорів по b грн. за кілограм. Запишіть у вигляді виразу вартість покупки.

1048. Автомобіль протягом t год рухався зі швидкістю 80 км/год і протягом 2 год — зі швидкістю 70 км/год. Запишіть у вигляді виразу шлях, який проїхав автомобіль за весь час руху. Знайдіть значення цього виразу, якщо t = 1,2.

1049. Через першу трубу до басейну щохвилини поступає а л води, а через другу — b л. Скільки літрів води поступить до басейну через обидві труби за 3 год?

1050. Знайдіть значення степеня:

а) 9⁴; б) (-3)⁵; в) (-2,5)³; г)

1051. Подайте у вигляді степеня з основою а:

a) а ² а ⁴; б) а ⁷: а; в) (а ³)⁵; г) (а ⁵ × а)⁴.

1052. Обчисліть:

а) 0,4⁵ × 2,5⁵; б) (2² × 0,5²)⁷ × 0,25⁴ × 4⁴; в)

1053. Подайте одночлен у стандартному вигляді та вкажіть його степінь:

a) 8 х ² ху; б) -3 а ² b × 2(а ⁵)²; в) - m ³ × 3 m ² n × 5 n ⁴;

г) 0,5 ас × (-4 а ³ с)² × а ² с; д) е)

1054. Подайте одночлен 12 a ⁴ b ⁵ у вигляді добутку двох одночленів стандартного вигляду, одним з яких є: 2 a ² b ²; -4 a ³ b; -0,5 b.

1055. Подайте одночлен 9 a ⁶ b ² у вигляді квадрата одночлена.

1056. Подайте одночлен 27 х ⁶ у ⁹ у вигляді куба одночлена.

1057. Знайдіть значення одночлена:

а) -4 а ³ b, якщо а = b = б) (2 х ³ у)² × у ⁴, якщо х = 0,25; у = 4.

1058*. Спростіть вираз, де n — натуральне число:

а) (х ³)^{3 n} × (х ⁵ х^{n + 1})²; б) (- аⁿ)¹⁷ × (- a ²)⁹.

1059. Запишіть многочлен у стандартному вигляді та знайдіть його степінь:

а) 3 x ²- 6 х + х ² - 3 + x; б) 3 а × 2 ab + a ⁵ - a ³ - 7 a ² b ;

в) 0,6 a ² b - 1,4 b ² a + 2,8 а ² b + 3,3 аb ²; г) 5 x ³+ x ²- x ³- x ².

1060. Спростіть вираз:

а) 8 а ² + 4 а - 3 - (7 - 8 а + 3 а ²); б) х - 3 х ² у - ху + (х ² - 3 х ² у + ху);

в)

Виконайте множення:

1061. а) 4 а (а ² - 4 а + 3); б) (2 х ² - 4 х + 8)(-0,5 х ²);

в) (4 ab ²+ 9 а ²)(2 b ² - 3 a); г) (a - 7)(b + 1)(c - 2).

1062.а) (b + 2 c)(b - 2 c); б) (5 x - 2 y)(5 x + 2 y);

в) (1,4 a - 0,3 b)(0,3 b + 1,4 a); г)

1063. Піднесіть до квадрата:

а) (2 х + 3)²; б) (3 с - 1)²; в) (0,4 b - 5 а)²; г)

Спростіть вираз:

1064. а) (х - 3)(х ² + х + 3) - х ³; б) 3 с - (с - 2)(2 с ² - с + 1) - 5 с ²;

в) (5 + х)(5 - х) + х ²; г) (2 b - 9)(2 b + 9) - 4 b ²;

д) (n - 1)(n ² + n + 1)- n ³; е) (а + 3)(а ² - 3 а + 9)- 27.

1065. а) (10 - 3 m)(2 + 3 m) + (5 m - 4)(5 - 2 m);

б) (4 a + 9)(a ² - 2 a + 2) - (4 a - 7)(а + 1)²;

в) (n ² - 3 n)(1 + 3 n)(-1 + n) - 3 n (n ³ + 1);

г) (4 y - 5 y ²)² + (2 y + 5 y ²)² - 20 y ².

Запишіть у вигляді многочлена стандартного вигляду:

1066. а) (b + 2)(b - 2)(b ²+ 4); б) 15 х ³(х ²+ 10)(10 - х ²);

в) а ⁵(а ⁴ - (2 а ³ + а ²(а ² - 2 а + 3))) + 4 а ⁷.

1067*. а) (а ² + 2 а - 2)²; б) (5 x - 2)³; в) (с - 3)⁴.

1068. Доведіть тотожність:

а) у (b - x) + x (b + y)= b (x + y); б) (- m + n)(m - n) = -(n - m)²;

в) (a + b + c + d)² – (a + b)² - (c + d)² = 2(a + b)(c + d);

г) (n + 1)(n + 3)(n + 5)(n + 7) + 7 = (n ² + 8 n + 8)(n ² + 8 n + 14).

Розкладіть на множники:

1069. а) 2 x + 2 ху; б) а ²- 2 а; в) 12 xу ³+ 8 ху ² - 16 х ² у.

1070. а) ах - ay + 3 x - 3 y; б) x ² у – 2 х + xy - 2;

в) 9 уа - 6 yа ² + 2 axy - 3 xy; г) 8 x ² a – 15 y ³ - 10 x ² y + 12 ay ².

1071. а) 9 n ² - 4 m ²; б) 120 – 30 a ⁴; в) 27 х ³ + 0,008 у ³;

г) х ³ - (m - n)³; д) a ² + 8 а + 16; е) 6 х ²- 24 ху + 24 у ².

1072. a) б) а ²- 4 b ² + 2 b + a; в) х ²- 4 ху + 4 у ² - 4 у ⁴.

1073*. а) x ²- 2 x – 3; б) а ²+ 3 а – 4; в) х ²- 8 ху + 7 у ².

1074. Доведіть, що значення виразу:

а) 9⁷ - 3¹² ділиться на 8; б) 49⁸ + 3 × 7¹⁵ ділиться на 10.

1075. Обчисліть:

а) 97 × 103; б) 1,8 × 2,2; в) 52² – 48²; г) 7,35² – 6,35².

1076. Знайдіть значення виразу:

а) а ³ - 0,5 а ², якщо а = 1,5;

б) х ² – 2 xy + y ², якщо x = -0,3; y = 10,3.

1077. Доведіть, що значення виразу (х + 1)² - (х - 1)(х + 3) не залежать від значень х.

1078. Доведіть, що для будь-якого цілого значення n значення виразу:

а) (2 n + 3)² - (2 n - 1)² ділиться на 8;

б) (8 n - 4)² - 8(4 n - 3) не ділиться на 32.

1079. Для якого значення х значення виразу х ² + 2 х + 9 є найменшим?

1080. Для якого значення х значення виразу 2 - х ² + 4 х є найбільшим?

1081*. Доведіть, що сума кубів двох послідовних цілих чисел, які не діляться на 3, кратна 9.

1082*. Чи може різниця четвертих степенів двох натуральних чисел бути
простим числом?

1083*. Знайдіть найменше значення виразу х ²+ у ² - 4 у - 2 x.

1084*. Доведіть, що коли деякі два цілі числа не діляться на 3, то їх сума або різниця діляться на 3.

1085*. Два велосипедисти проїхали шлях від пункту А до пункту В. Перший велосипедист першу половину шляху їхав зі швидкістю 20 км/год, а другу половину ¾ зі швидкістю 16 км/год. Другий же велосипедист першу половину шляху їхав зі швидкістю 19 км/год, а другу половину ¾ зі швидкістю 17 км/год. Хто з них затратив більше часу на шлях від А до В?

Розв’яжіть рівняння:

1086. а) 3 х - 18 = 57- 2 х; б) 3(x – 2) – 4(х - 4) = 5;

в) 250(х + 8) = 125 х – 500; г) 0,3(1 – x) = 0,4(х - 1) – 0,7;

д) е)

є) ж)

1087. а) х (х + 5) – х ² = 2; б) (2 х + 3)(х – 1) = 2 х ²;

в) х (х + 0,1) = (х – 0,1)(х + 0,2); г)

д) (х – 3)(х + 3) = (х + 1)²; е) 2 х (х – 1,5)² = 2 х ³ – 6 х ² + 3.

1088. a) у ³ - 3 у ² = 0; б) х ³ - х = 0;

в) х ² – 6 х + 9 = 0; г) х ³ – 2 х ² – 4 х + 8 = 0;

д) у ² + 2 у – 48 = 0; е)

1089*. а) |3 - 2 x | = 5; б) || х | - 2| = 6.

1090*. а) (| х | + 5)(3| х | - 9) = 0; б) | x (х - 2)| + х ² = 0; в) х ² + 2| х | + 1 = 0.

1091*. Доведіть, що рівняння x ⁴+ 1 + (x - 2)⁴ = 2 х ²не має коренів.

1092*. Розв’яжіть рівняння .

Розв’яжіть задачі 1093–1098, склавши рівняння.

1093. Периметр прямокутника дорівнює 68,4 см. Знайдіть сторони прямокутника, якщо одна з них на 3,6 см коротша від іншої.

1094. Сума двох чисел дорівнює 52,7, одне з них у 2,4 разу більше від другого. Знайдіть більше із цих чисел.

1095. У першій цистерні втричі більше бензину, ніж у другій. Коли з першої цистерни забрали 400 л бензину, а з другої — 800 л, виявилося, що в перший цистерні бензину стало у 8 разів більше, ніж у другій. Скільки бензину було в кожній цистерні спочатку?

1096. З міста виїхав мотоцикліст і рухався зі швидкістю 40 км/год. Через півгодини услід за ним виїхав автомобіль, швидкість якого дорівнює 60 км/год. Через скільки годин після свого виїзду з міста автомобіль наздожене мотоцикліста?

1097. Нержавіюча сталь є сплавом заліза, хрому й нікелю. Лист з такої сталі містить 15% хрому, 0,5% нікелю, а заліза — на 2,78 кг більше, ніж хрому. Знайдіть масу листа.

1098*. Автобус рухався до міста N зі швидкістю 60 км/год. Дорогою його обігнав легковий автомобіль, що їхав зі швидкістю 80 км/год. Автомобіль прибув до міста N і через 15 хв вирушив у зворотний шлях. На відстані 10 км від міста N він знову зустрів автобус. На якій відстані від міста N були автобус і автомобіль при першій зустрічі?

1099. Функція задана формулою у = –2 х + 3.

а) Знайдіть значення функції, які відповідають таким значенням аргументу: –2; 0; 6.

б) Знайдіть значення аргументу, якому відповідає значення функції: 3; 1.

в) Для якого значення х значення функції дорівнює значенню аргументу?

1100. Побудуйте графік функції у = 2 х – 0,5. За допомогою графіка знайдіть: а) значення функції, якщо х = –0,5; х = 1,5; б) значення х, для якого у = 1,5.

1101. Побудуйте графік функції у = 0,5 х + 1, де -4 £ x £ 3. Яка область визначення та область значень функції? Чому дорівнюють найбільше та найменше значення функції? Вкажіть нулі функції. Для яких значень х функція набуває додатних значень; від’ємних значень?

1102. Побудуйте графік функції:

а) у = – х + 1, де -3 £ x £ 2; б) y = 2 х ² – 2, де -2 £ x £ 2.

в) у = 1,5 х; г) у = –1,5 х; д) у = 3 х + 1; е) у = –1,5 х – 1.

1103. Графік прямої пропорційності проходить через точку A (2; 7). Чи проходить цей графік через точку B (-4; -14)?

1104. На рисунку 47 зображено графік функції. Знайдіть область визначення та область значень цієї функції. Задайте функцію формулою, якщо:

а) 0 £ х £ 2; б) 2 £ х £ 6.

Рис. 47

1105. Знайдіть координати точок перетину графіків функцій:

а) у = 1,5 х і у = – х + 5; б) у = –2 х і y = х ².

1106. Для якого значення b графіки функцій у = 3 х + b і у = 2 х + 4 перетинаються в точці, що лежить на осі абсцис?

1107. Чи є пара чисел (2; –1) розв’язком рівняння 2 х + 5 у = -3?

1108. Побудуйте графік рівняння:

а) х + 3 у = 3; б) 2 х - 3 у = 6; в) 2 х = 5; г) -3 у = 6.

1109. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

Розв’яжіть систему рівнянь:

1110. а) б) в)

1111. а) б)

1112. а) б)

1113. Знайдіть точку перетину графіків рівнянь 2 х + 3 у = -2 і 4 х - 5 у = 7.

1114. Чи належить точка перетину графіків рівнянь 2 х + 4 у = -6 і 10 х - у = 12 графіку рівняння 3 х + у = 1?

1115. Графік лінійної функції проходить через точки A (-1; 1) і B (3; -7). Задайте цю функцію формулою.

1116*. Для якого значення k система рівнянь має безліч розв’язків?

Розв’яжіть задачі 1117–1121, склавши систему рівнянь.

1117. Сума двох чисел дорівнює 20,5, одне з них на 2,3 більше від іншого. Знайдіть ці числа.

1118. Два автоматичні станки за 8 год спільної роботи виготовляють 2000 деталей. Перший станок за 2 год і другий за 3 год разом виготовляють 630 деталей. Скільки деталей виготовляє за годину кожний станок?

1119. З пунктів А і В, відстань між якими дорівнює 17 км, вийшли назустріч один одному два туристи і зустрілися через 2 год. Знайдіть швидкості туристів, якщо швидкість одного з них на 0,5 км/год менша від швидкості іншого.

1120. Братові й сестрі разом 10 років. Скільки років кожному з них, якщо через рік брат буде вдвічі старший від сестри?

1121*. Молоко однієї корови містить 5% жиру, а іншої — 3,5%. Змішавши молоко обох корів, одержали 10 л молока, жирність якого дорівнює 4%. Скільки для цього використали літрів молока від кожної корови?