Векторы. Линейные операции над векторами

B A

Пусть в пространстве даны точки A и B. соединяющий их отрезок, называется направленным отрезком, если одна из точек считается его началом, а другая – концом. Если A – начало, а B – конец, то такой направленный отрезок обозначается . Направленные отрезки называются векторами. Вектор можно обозначать маленькой буквой с чёрточкой наверху. На чертеже направление вектора указывается стрелкой.

Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны или ле-

жат на одной прямой. Коллинеарность векторов обозначается значком | |.

Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными (↑↑) или противоположно направленными (↑↓).

Векторы и называются равными (), если (они сонаправлены) и (равны по длине). Равенство векторов обладает следующими свойствами: каждый вектор равен самому себе; если вектор равен вектору , то и равен ; если и , то .

Равные векторы можно получить друг из друга при помощи параллельного переноса.

В дальнейшем будем отождествлять равные векторы, считая их одним и тем же вектором, отложенным от разных точек пространства.

Исходная позиция Новая точка зрения     Три равных вектора: . Один и тот же вектор, отложенный от разных точек пространства

Обычно в связи с таким изменением понятия вектора недоразумений не возникает.

Пусть имеется два вектора: и . Отложим вектор от какой-нибудь точки пространства и перенесём вектор параллельно так, чтобы его начало совпало с концом вектора , тогда вектор, идущий из начала вектора в конец вектора , называется суммой векторов и . При сложении векторов роль нулевого (от прибавления которого ничего не меняется) играет так называемый вырожденный вектор, начало и конец которого совпадают. Этот вектор обозначается как .

Чтобы умножить вектор на число λ, нужно увеличить его длину в λ раз, если . Если же , то длину вектора нужно увеличить в раз и изменить его направление на противоположное.

Умножение вектора на число тесно связано с коллинеарностью векторов. для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы один из них отличался от другого числовым множителем.

Сложение векторов и умножение вектора на число, то есть линейные операции над векторами, обладают следующими свойствами:

а) б)   в) г)

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. .

Рисунки а), б), в) и г) иллюстрируют первое, второе, восьмое и четвёртое свойства. Рисунок а) показывает также, что векторы можно складывать по правилу параллелограмма: суммой векторов, приведённых к одному началу, служит диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах.

В силу свойств 1 – 8 множество векторов с введёнными для его элементов линейными операциями является линейным пространством.

Координаты вектора

Пусть в пространстве введена декартова система координат OXYZ – три взаимно перпендикулярные оси OX, OY, OZ с началом в точке O.

Z O Y X

Из произвольной точки пространства A опустим перпендикуляр на плоскость XOY. Затем из точки опустим перпендикуляры и на оси OX и OY, соответственно. По теореме о трёх перпендикулярах , . На оси OZ отложим отрезок , равный . Так как – прямоугольник, . Таким образом, точки являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки A на координатные оси.

Координаты , , точки A в системе координат OXYZ вводятся следующим образом: абсцисса ордината аппликата

Для того чтобы определить координаты , , вектора , перенесём его параллельно так, чтобы его начало совпало с началом координат. обозначим его конец через A, тогда . За координаты вектора примем координаты точки A, то есть положим , , (это не противоречит общепринятому определению координат как проекций вектора на оси). Координаты вектора записываются в скобках рядом с его обозначением, .

Z Y X

Координаты вектора служат коэффициентами при разложении его по базису , , , (, , – векторы единичной длины, сонаправленные с осями координат, , , ),

то есть .

Покажем, как получается такое равенство. Так как и ,

вектор . Очевидно, что , , . Но .

Поэтому .

Следствием формулы разложения вектора по базису является утверждение о равенстве векторов, имеющих одинаковые координаты.

При сложении векторов их координаты складываются. При умножении вектора на число, его координаты умножаются на это же число. Эти утверждения примем на веру, без доказательства. Выпишем их кратко, в виде формул: , .

Следствием этих утверждений являются формулы выражения координат вектора через координаты конца и начала и условие коллинеарности векторов. Остановимся на этом подробнее.

Пусть даны точки и . Рассмотрим вектор . Очевидно, , откуда и, следовательно, . Аналогично получаем, что , . Итак, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

Условие коллинеарности векторов и , как уже было сказано, состоит в том, что () или, в координатах, , , , откуда . Таким образом, условие коллинеарности векторов и состоит в пропорциональности их координат: .

Эту формулу используют и тогда, когда знаменатель одной из дробей равен нулю, считая, что и числитель этой дроби должен быть равен нулю.

Z O Y X

Зная координаты вектора можно найти его длину. По теореме Пифагора (из и равенства ) и (из и равенства ). Отсюда . Это значит, что

и .

В заключение обсудим вопрос о связи геометрических и алгебраических векторов. Каждому вектору сопоставляется тройка чисел – его координаты. С другой стороны, любая тройка чисел, то есть алгебраический вектор, может рассматриваться как координаты вектора, и, следовательно, определяет геометрический вектор. Соответствие между геометрическими и алгебраическими векторами взаимно однозначное и сохраняется при линейных операциях над ними. Вот почему и те, и другие называются векторами. Если принять соглашение об отождествлении геометрического вектора и алгебраического вектора , допустима запись = .