Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

 

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом μ_ху случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

μ_ху={M[X-M (X) ][Y-M (Y) ]},

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу

а для непрерывных величин - формулу

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y. Как будет показано ниже, корреляционный момент равен нулю, если X и Y независимы; следовательно, если корреляционный момент не равен нулю, то X и Y - зависимые случайные величины.

Замечание 1. Учитывая, что отклонения есть центрированные случайные величины (см. гл. VIII, § 2), корреляционный момент можно определить как математическое ожидание произведения центрированных случайных величин:

μ_ху=M[ ].

3амечание 2. Легко убедиться, что корреляционный момент можно записать в виде

μ_ху=M (XY) -M (X) M (Y).

Теорема 1. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Доказательство. Так как X и Y - независимые случайные величины, то их отклонения X - М (X)и Y - М (Y)также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получим

μ_ху= М {[Х - М (X) ][Y - M (Y) ]} = М [Х-М (X) ]M[Y - M (Y) ]= 0.

Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и Y. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины.

Пусть, например, X и Y были измерены в сантиметрах и μ_ху = 2 см²; если измерить X и Y в миллиметрах, то μ_ху = 200мм. Такая особенность корреляционного момента является недостатком этой числовой характеристики, поскольку сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин становится затруднительным. Для того чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику - коэффициент корреляции.

Коэффициентом корреляции r_ху случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

r_ху= μ_ху/ (σ_x σ_y). (*)

Так как размерность μ_ху равна произведению размерностей величин X и Y, σ_х имеет размерность величины X, σ_y имеет размерность величины Y (см. гл. VIII, § 7), то r_ху - безразмерная величина. Таким образом, величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом.

Очевидно, коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю (так как μ_ху = 0).

Замечание 3. Во многих вопросах теории вероятностей целесообразно вместо случайной величины X рассматривать нормированную случайную величину X’, которую определяют как отношение отклонения к среднему квадратическому отклонению:

X’= (X-M (X)) / σ_x.

Нормированная величина имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице. Действительно, используя свойства математического ожидания и дисперсии, имеем:

;

.

Легко убедиться, что коэффициент корреляции r_ху равен корреляционному моменту нормированных величин X’ и Y’:

.

Теорема 2. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий:

Доказательство. Введем в рассмотрение случайную величину Z ₁ =σ_yX—σ_xY и найдем ее дисперсию D (Z ₁) = M[Z ₁ —m_z] ². Выполнив выкладки, получим

D (Z ₁) = 2 μ_ху.

Любая дисперсия неотрицательна, поэтому

2 μ_ху≥ 0.

Отсюда

μ_ху ≤ σ_x σ_y. (**)

Введя случайную величину Z ₁ =σ_vX +σ_xY, аналогично найдем

μ_ху≥ - σ_x σ_y. (***)

Объединим (**) и (***):

- σ_x σ_y≤ μ_ху ≤ σ_x σ_y, (****)

или

.

Итак,

.

Теорема 3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы:

r_ху ≤1.

Доказательство: Разделим обе части двойного неравенства (****) на произведение положительных чисел σ_x σ_y

- 1 ≤ r_ху ≤ 1.

Итак,

r_ху≤ 1.