Похідна показникової функції

¨ Диференціальне відношення (1) дорівнює

.

Згідно з наслідком 4 маємо:

.

Отже,

.

У частинному випадку при а = е дістаємо:

. ¨

Похідна логарифмічної функції

¨ Записуємо диференціальне відношення (1):

Користуючись другою визначною границею, дістаємо

.

Отже, при шукана похідна подається так:

Зокрема, коли а = е, маємо:

. ¨

Похідні тригонометричних функцій

¨ 1. Для функції у = sin x диференціальне відношення (1) подається так:

.

Згідно з першою визначною границею маємо:

.

Отже,

.

2. Аналогічно для функції у = cos x дістаємо:

3. Для функції у = tg х диференціальне відношення (1) набуває вигляду:

Згідно з наслідком 1 .

Отже,

.

4. Аналогічно для функції у = ctg x записуємо:

¨

Правила диференціювання

Правило 1. Похідна сталої дорівнює нулеві (сonst)¢ = 0.

¨ (рис. 3). ¨

Рис. 3

(7)¢ = 0; (– 100)¢ = 0.

Правило 2. Якщо u — будь-яка диференційовна функція від х і с — довільна стала, то (cu) ¢ = cu ¢.

¨

· ·

Правило 3. Якщо u та v — диференційовні функції від х, то їх сума u + v є диференційовною функцією: . Аналогічно, похідна суми будь-якого скінченного числа диференційовних функцій дорівнює похідним цієї функції: .

¨ Нехай у = u + v. Якщо D u і D v — прирости функцій u та v відносно приросту D х аргументу х, то приріст функції у такий:

.

Остаточно маємо:

¨

Знайти похідну функції .

· .·

Правило 4.Добуток двох диференційовних функ­цій u та v є диференційовною функцією .

¨ Нехай у = uv, де u і v — диференційовні функції від х; ∆ х — приріст аргументу х; D u і D v — прирости u і v. Тоді приріст функції у буде такий:

(рис. 4).

Рис. 4

Отже,

.

Коли D х прямує до нуля, маємо:

.

Тоді

¨

Похідна добутку n функцій:

(3)

Знайти у ¢, якщо у = (х ² +1) ln x.

· .

Правило 5. У точках, в яких , відношення двох дифе­ренційовних функцій є функція диференційовна, причому .

¨ Розглянемо точки, в яких виконуються умови: ; u i v — диференційовні.

Нехай х набуває приросту D х; D у, D u, D v — відповідні прирости функцій у, u і v.

Якщо в точці х, , коли D х близьке до нуля. Тоді виконується рівність

.

Віднімаючи від неї вираз , дістаємо:

,

або

.

Якщо D х прямує до 0, маємо:

. ¨

Знайти у ¢, якщо .

·

. ·

Похідна оберненої функції

Теорема 1. Якщо функція у = f (x) монотонна й має в точці х відмінну від нуля похідну, то функція, обернена до даної, подається у вигляді х = g (y) і має похідну х = g (y), обернену до похідної даної функції:

. (4)

Похідні обернених тригонометричних функцій:

¨ Якщо , то для функцій оберненими є відповідно такі:

За теоремою 1 маємо:

;

;

;

. ¨

Похідна складної функції

Правило 6.

Теорема 2. Похідна складної функції : — правило ланцюга.

Доведення. Позначимо u = j(х). Тоді у = f (u). Знайдемо прирости функцій у = f (u), u = j(x):

Далі запишемо диференціальне відношення (1):

Коли то й . Тому

. ¨

Задана функція у = f (x). Знайти у ¢.

1) ; 2) ; 3) .

· 1) За формулою (5) маємо:

2) Візьмемо: . Тоді за правилом 4

.

Функції і — складні. Згідно з (5) маємо:

.

3) Нехай і . Тоді за правилом 5 дістаємо:

.

Похідні функцій arctg x ³ і обчислюємо за формулою (5):

;

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

стор. 191 – 218.

 

Тема 13

Диференціал функції, його геометричний зміст. Властивості. Застосування диференціала в наближених обчисленнях

Мета заняття Засвоєння поняття диференціалу функції в точці; формування уміння знаходити диференціали та застосовувати їх при наближених обчисленнях.

Виховувати розумову культуру, культуру усного і писемного мовлення; розвивати логічне мислення.

 

Студенти повинні знати: поняття диференціалу функції, його геометричний зміст, властивості.

Студенти повинні вміти: знаходити диференціал функції, застосовувати його в наближених обчисленнях.

 

Основні питання теми

Ми знаємо, що процес знаходження похідних називається диференціюванням. Але в математичному аналізі є поняття диференціала функції в точці як самостійне. Що це таке і для чого, ви повинні вивчити в цій темі

1.Поняття диференціала функції в точці; позначення;

2.Властивості диференціала;

3.Геометричний зміст диференціала;

4.Застосування диференціала в наближених обчисленнях;

5.Приклади

 

Завдання для самоперевірки

Закінчте вирази:

1. Похідною функції у точці х називається

2. Дотичною до графіка функції у точці М називається …

3. Геометричний зміст похідної функції полягає в тому, що …

4. Фізичний зміст похідної функції полягає в тому, що …

5. Економічний зміст похідної функції полягає в тому, що …

6. Функція називається диференційовною в точці х, якщо …

7. Вказати правильне твердження:

а) якщо функція неперервна в точці х, то вона диференційовна в ній;

б) якщо функція диференційовна в точці х, то вона неперервна в цій точці.

8. Диференціалом функції називається …

9. Геометричний зміст диференціала полягає в тому, що …

10. Якщо існують похідні функцій і , то:

а) … (довести);

б) … (довести);

в) … (довести).

11. Сформулювати і довести теорему про похідну складної функції.

12. Сформулювати і довести теорему про похідну оберненої функції.

13. Еластичністю функції називається …

14. Якщо існують еластичності та функцій і , то:

а) … (довести);

б) … (довести).

15. Попит називається еластичним, якщо …

16. Попит називається нееластичним, якщо …

17. Знайти відношення для функцій:

1) при

2) при

3) при .

18. Використовуючи означення похідної як , знайти похідні функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

19. Нехай витрати виробництва є функцією кількості випущеної продукції: . Знайти середні і граничні витрати виробництва за обсягу випущеної продукції, що дорівнює 10 грошовим одиницям.

20. Обсяг виготовленої продукції у (ум. од.) цеху протягом робочого дня виражається такою функцією , де t — кількість годин роботи. Знайти обсяг випуску продукції через 2 години після початку робочого дня.

21. У якій точці дотична до параболи : 1) паралельна осі ОХ; 2) утворює кут 45° з віссю ОХ?

22. Знайти диференціал функції у = lnsin 2х: а)при довільних значеннях х і Δх; б)при х = π/8; в) при х = π/8 і Δх = 0,1.

23.Обчислити наближено arсtg 1,05.

24.Знайти диференціал функції у = lnsin 2х: а)при довільних значеннях х і Δх; б)при х = π/8; в) при х = π/8 і Δх = 0,1.

25.Обчислити наближено arсtg 1,05.

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

гл.5, стор. 218 – 222.

Лекція „диференціал”

Нехай функція у = f (x) диференційовна в інтервалі .
З означення диференційовності маємо:

Звідси можна записати:

(1)

де функція при задовольняє умову

Із (1) для приросту функції дістаємо:

Покладемо, що .

Означення. Величина f¢ (x)D х називається диференціалом функції f(x) за приростом Dх.

Позначення:

Геометрична інтерпретація:

Диференціал є лінійним наближенням (апроксимацією) до приросту функції: . Наскільки менше , настільки краще наближення (апроксимація) (рис. 1).

Рис. 1

Нехай . Знайдемо диференціал df (x) і приріст D f (x) для і і порівняємо їх.

Рис. 2

1) ;

(рис. 2).

2)

.

. ·

Правила обчислення диференціала

Правило 1. Нехай .

Тоді

або

Правило 2. Дано .

Тоді

Правило 3. Маємо , .

Тоді

. Знайти диференціал

· за правилом 3 маємо:

·

Правило 4. Якщо , , то

Правило 5. Якщо функція має обернену , то

.

Правило 6. Якщо функції задані у параметричному вигляді

, ,

то

.

Зауваження. Такі перетворення застосовують, виконуючи інтегрування функцій.

 

 

Інваріантність форми
першого диференціала функції

Важлива властивість диференціала функції полягає в тому, що його вигляд лишається незмінним навіть у тому разі, коли переходять до іншої незалежної змінної.

¨ Справді, нехай у = f (x). Тоді диференціал цієї функції записується у вигляді

. (1)

Виконаємо заміну змінних u = j(x). Тоді функція у = f (u) буде функцією від змінної х:

.

Обчислюючи диференціал цієї функції, дістаємо:

, (2)

або

. (3)

Вираз є диференціалом функції u, оскільки . Тому (3) можна подати у вигляді

.

Отже, ми повернулися до вигляду диференціала (1), який був записаний за припущення, що змінна u є незалежною. Маємо властивість диференціала, яка називається його інваріантністю: